Question

6．设a＞0，b＞0，若$\sqrt{2}$是2^a与2^b的一个等比中项，则ab的最大值为$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 $\sqrt{2}$是2^a与2^b的一个等比中项，可得a+b=1．再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵$\sqrt{2}$是2^a与2^b的一个等比中项，
∴2^a•2^b=（$\sqrt{2}$）²=2，
∴a+b=1．
又a＞0，b＞0，
∴ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²=$\frac{1}{4}$．当且仅当a=b=$\frac{1}{2}$时取等号．
∴ab的最大值为$\frac{1}{4}$．
故答案是：$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．