题目内容
8．设数列{an}的前n项和为Sn，且有a1=1，2Sn=（n+1）an，n∈N*．（1）求an；
（2）求数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n项和．
分析 （1）由2Sn=（n+1）an，得2Sn-1=nan-1，（n≥2），两式相减得2an=（n+1）an-nan-1，即{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是一个常数列，且$\frac{{a}_{1}}{1}$=1，问题得以解决，
（2）先求出Sn=$\frac{n（n+1）}{2}$，再裂项$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），即可求前n项和．
解答 解：（1）由2Sn=（n+1）an，得2Sn-1=nan-1，（n≥2），
两式相减得2an=（n+1）an-nan-1，
∴（n-1）an=nan-1，（n≥2），
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$，
∴{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是一个常数列，且$\frac{{a}_{1}}{1}$=1，
∴an=n，（n∈N*），
（2）∵Sn=1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n项和为2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=2（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2n}{n+1}$
点评 本题考查了递推公式求出数列的通项公式和裂项法求前n项和，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
18．已知椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}$+y2=1（a＞1），上顶点为A，左顶点为B，设P为椭圆上一点，则△PAB的最大值为$\sqrt{2}$+1．若已知M（-$\sqrt{3}$，0），N（$\sqrt{3}$，0），点Q为椭圆上任意一点，则$\frac{1}{{|{QN}|}}$+$\frac{4}{{|{QM}|}}$的最小值为（ ）
| A． | 2 | B． | $\frac{9}{4}$ | C． | 3 | D． | 3+2$\sqrt{2}$ |
19．以下有关命题的说法错误的是（ ）
| A． | 命题“若x2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2-3x+2≠0” | |
| B． | 若a∈R，则“a=2”是“（a-1）（a-2）=0”的充分且不必要条件 | |
| C． | 对于命题p：?x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则￢p：?x∈R，则x2+x+1≥0 | |
| D． | 命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题 |
16．数列{an}满足a1=1，且对任意的n∈N+都有an+1=a1+an+n，则{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前100项和为（ ）
| A． | $\frac{100}{101}$ | B． | $\frac{99}{100}$ | C． | $\frac{101}{100}$ | D． | $\frac{200}{101}$ |
3．在约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥0}\\{y+x≤t}\\{y+2x≤4}\\{\;}\end{array}\right.$下，当t≥2时，其所表示的平面区域面积的取值范围是（ ）
| A． | [4，+∞） | B． | [2，+∞） | C． | [4，8] | D． | [2，4] |
13．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的概率是（ ）
| A． | $\frac{1}{6}$ | B． | $\frac{1}{3}$ | C． | $\frac{2}{3}$ | D． | $\frac{5}{6}$ |