Question

4．已知函数f（x）=|x+a-1|+|x-2a|．
（Ⅰ） 若f（1）＜3，求实数a的取值范围；
（Ⅱ） 若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过讨论a的范围得到关于a的不等式，解出取并集即可；（Ⅱ）基本基本不等式的性质证明即可．

解答 解：（Ⅰ） 因为f（1）＜3，所以|a|+|1-2a|＜3．
①当a≤0时，得-a+（1-2a）＜3，
解得$a＞-\frac{2}{3}$，所以$-\frac{2}{3}＜a≤0$； 
②当$0＜a＜\frac{1}{2}$时，得a+（1-2a）＜3，
解得a＞-2，所以$0＜a＜\frac{1}{2}$； 
③当$a≥\frac{1}{2}$时，得a-（1-2a）＜3，
解得$a＜\frac{4}{3}$，所以$\frac{1}{2}≤a＜\frac{4}{3}$；    
综上所述，实数a的取值范围是$（{-\frac{2}{3}，\frac{4}{3}}）$．
（Ⅱ） 因为a≥1，x∈R，
所以f（x）=|x+a-1|+|x-2a|≥|（x+a-1）-（x-2a）|=|3a-1|=3a-1≥2．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的意义，是一道中档题．