Question

已知向量

a

=（cosωx-sinωx，sinωx），

b

=（-cosωx-sinωx，2

3

cosωx），设函数f（x）=

a

•

b

+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，且经过点（

π

4

，0），其中ω，λ为常数，ω∈（

1

2

，1）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）先将函数y=f（x）的图象向右平移

π

4

个单位，然后将所得图象上各点的横坐标变为原来的5倍，纵坐标不变，最后将所得图象向上平移

2

个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在区间[

3π

4

，

5π

4

]上的值域．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）先利用向量数量积运算性质，求函数f（x）的解析式，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数f（x）化为y=Asin（ωx+φ）+k型函数，最后利用函数的对称性和ω的范围，计算ω的值，从而得函数的最小正周期，先将已知点的坐标代入函数解析式，求得λ的值，即可求得函数f（x）的解析式；
（2）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换求得g（x）的解析式，求得

x

3

-

7π

12

的取值范围，即可得到g（x）在区间[

3π

4

，

5π

4

]上的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）=

a

•

b

+λ=（cosωx-sinωx）×（-cosωx-sinωx）+sinωx×2

3

cosωx+λ
=-（cos²ωx-sin²ωx）+

3

sin2ωx+λ，
=

3

sin2ωx-cos2ωx+λ=2sin（2ωx-

π

6

）+λ，
∵图象关于直线x=π对称，∴2πω-

π

6

=

π

2

+kπ，k∈z，
∴ω=

k

2

+

1

3

，又ω∈（

1

2

，1），
∴k=1时，ω=

5

6

，
∵f（

π

4

）=0，
∴2sin（2×

5

6

×

π

4

-

π

6

）+λ=0，
∴λ=-

2

，
∴f（x）=2sin（

5

3

x-

π

6

）-

2

．
（2）先将函数y=f（x）的图象向右平移

π

4

个单位，得到的函数解析式为：y=2sin[

5

3

（x-

π

4

）-

π

6

]-

2

=2sin（

5

3

x-

7π

12

）-

2

．
然后将所得图象上各点的横坐标变为原来的5倍，纵坐标不变，得到的函数解析式为：y=2sin（

1

5

×

5

3

x-

7π

12

）-

2

=2sin（

x

3

-

7π

12

）-

2

．
最后将所得图象向上平移

2

个单位，得到函数y=g（x）的图象，得到的函数解析式为：g（x）=2sin（

x

3

-

7π

12

）．
∵x∈[

3π

4

，

5π

4

]，
∴

x

3

-

7π

12

∈[-

π

3

，-

π

6

]，
∴g（x）=2sin（

x

3

-

7π

12

）∈[-

3

，-1]．

点评：本题主要考查了y=Asin（ωx+φ）+k型函数的图象和性质，向量数量积运算性质，复合函数值域的求法，整体代入的思想方法，属基础题．