Question

7．设函数f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²-bx，
（1）当a=$\frac{1}{3}$，b=$\frac{2}{3}$时，求f（x）的最大值；
（2）令F（x）=f（x）+$\frac{1}{2}$ax²+bx+$\frac{a}{x}$（0＜x≤3），其图象上任意一点P（x₀，y₀）处切线的斜率k≤2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；
（2）求出函数的导数，得到F′（x₀）=$\frac{{x}_{0}-a}{{{x}_{0}}^{2}}$≤2在x₀（0，3]上恒成立，分离参数得：a≥${（-{{2x}_{0}}^{2}{+x}_{0}）}_{max}$，x₀∈（0，3]，从而求出a的范围．

解答 解：（1）依题意知f（x）的定义域为（0，+∞）），
当a=$\frac{1}{3}$，b=$\frac{2}{3}$时，f（x）=lnx-$\frac{1}{6}$x²-$\frac{2}{3}$x，
f′（x）=$\frac{-（x+3）（x-1）}{3x}$，
令f′（x）=0，解得x=1，
∵x＞0，x=-3舍去，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增；
当x＞1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减．
∴f（x）的极大值为f（1）=-$\frac{5}{6}$，此即为f（x）最大值；
（2）F（x）=lnx+$\frac{a}{x}$，x∈（0，3]，
则有k=F′（x₀）=$\frac{{x}_{0}-a}{{{x}_{0}}^{2}}$≤2在x₀（0，3]上恒成立，
∴a≥${（-{{2x}_{0}}^{2}{+x}_{0}）}_{max}$，x₀∈（0，3]，
所以当x₀=$\frac{1}{4}$时，${（-{{2x}_{0}}^{2}{+x}_{0}）}_{max}$=$\frac{1}{8}$，
∴a≥$\frac{1}{8}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．