Question

已知函数f(x)＝ln(e^x＋a)(a为常数)是实数集R上的奇函数，函数g(x)＝λf(x)＋sinx是区间[－1，1]上的减函数．

(1)求a的值；

(2)求关于x的方程＝x²－2ex＋e²＋的根的个数；

(3)若g(x)≤t²＋λt＋1在x∈[－1，1]上恒成立，求t的取值范围．

Answer 1

[思考流程]方法：(1)利用奇函数的定义；(2)利用函数最值的关系求解；(3)先求g(x)_max，从而得出λ的范围，再将g(x)≤t²＋λt＋1转化为关于λ的不等式，最后构造函数h(λ)，利用函数的单调性求解．

解：(1)f(x)＝ln(e^x＋a)是奇函数，则f(0)＝ln(e⁰＋a)＝0，所以e⁰＋a＝1，

所以a＝0.

(2)由(1)知f(x)＝x，所以方程化为＝x²－2ex＋e²＋.

令f₁(x)＝，f₂(x)＝x²－2ex＋e²＋，

则f′₁(x)＝.

当x∈(0，e)时，f′₁(x)>0，所以f₁(x)在区间(0，e]上为增函数．

当x∈[e，＋∞)，f′₁(x)≤0，所以f₁(x)在区间[e，＋∞)上为减函数，

所以当x＝e时，f₁(x)有极大值，即f₁(e)＝，也是最大值．

而f₂(x)＝(x－e)²＋，所以f₂(x)的最小值为f₂(e)＝，

所以方程＝x²－2ex＋e²＋只有一个根．

(3)因为g(x)在区间[－1，1]上单调递减，所以g(x)_max＝g(－1)＝－λ－sin1.又g′(x)＝λ＋cosx≤0对x∈[－1，1]恒成立，所以λ≤－1.

所以只需－λ－sin 1≤t²＋λt＋1，

即(t＋1)λ＋t²＋sin 1＋1≥0(其中λ≤－1)恒成立．

令h(λ)＝(t＋1)λ＋t²＋sin 1＋1(λ≤－1)，

则所以

又t²－t＋sin 1≥0恒成立，所以t≤－1.