Question

现要制作一个圆锥形漏斗，其母线长为l，要使其体积最大，求高为多少？

Answer 1

分析：设圆锥形漏斗的高为h，我们可以表示出底面半径r，进而得到圆锥体积的表达式，利用导数法，易得到体积取最大值时，高h与母线l之间的关系．

解答：解：设圆锥形漏斗的高为h，则圆锥的底面半径为

l2-h2

（0＜h＜l）
则圆锥的体积V=

1

3

•π（l²-h²）•h=-

π

3

h³+

πl2

3

h
则V′=-πh²+

πl2

3

令V′=0
则h=±

3

3

l
∵0＜h＜l
∴当高h=

3

3

l时，Vmax=

2 3 π

27

l3

点评：本题考查的知识点是圆锥的体积，函数的最值，导数法在求函数最值中的应用，其中设出漏斗的高为h，表示出底面半径r，进而得到圆锥体积的表达式，建立函数数学模型是解答本题的关键．