Question

如图，在体积为V₁的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别为所在边的中点，正方体的外接球的体积为V，则下面命题中假命题是（　　）

• A、BD₁=

  3

  AB
• B、

  V

  V1

  =

  3

  2

  π；
• C、BD₁与底面ABCD所成角是45°
• D、MN∥平面D₁BC

Answer 1

分析：由题意求出BD₁，即可判断A的正误；求出几何体的体积比，即可判断B的正误；直径求出BD₁与底面ABCD所成角判断C的正误；通过直线与平面的平行判断D的正误；

解答：解：由题意可知，正方体的对角线为BD₁=

3

AB，A正确；
外接球的体积与正方体的体积的比：

V

V1

=

4π 3 ( 3 AB 2 )3

(AB)3

=

3

2

π，B正确；
BD₁与底面ABCD所成角小于45°，所以C错误；
在BC上取中点，与M，N连接的平面，与平面D₁BC平行，即可证明MN∥平面D₁BC，D正确．
故选C

点评：本题是基础题，考查球与正方体的关系，直线与平面的位置关系，考查空间想象能力，计算能力，常考题目．