题目内容
10．已知有穷数列{an}各项均不相等，将{an}的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{Pn}，称{Pn}为{an}的“序数列”，例如数列：a1，a2，a3满足a1＞a3＞a2，则其序数列{Pn}为1，3，2．（1）求证：有穷数列{an}的序数列{Pn}为等差数列的充要条件是有穷数列{an}为单调数列；
（2）若项数不少于5项的有穷数列{bn}，{cn}的通项公式分别是bn=n•（$\frac{3}{5}$）n（n∈N*），cn=-n2+tn（n∈N*），且{bn}的序数列与{cn}的序数列相同，求实数t的取值范围；
（3）若有穷数列{dn}满足d1=1，|dn+1-dn|=（$\frac{1}{2}$）n（n∈N*），且{d2n-1}的序数列单调减，{d2n}的序数列单调递增，求数列{dn}的通项公式．
分析 （1）由题意，分别证明充分性和必要性．其中，充分性证明即若有穷数列{an}的序数列{Pn}为等差数列，则有穷数列{an}为单调数列，分别讨论{Pn}为递增数列时，数列{an}的特点是项由大到小依次排列，得到有穷数列{an}为单调递减数列；
同理{Pn}为递减数列，有穷数列{an}为单调递增数列．必要性证明同样需将有穷数列{an}分为递增和递减来讨论，最后得出其序数列{Pn}为等差数列；
（2）通过作差法比较相邻两项的大小关系，即bn+1-bn=$\frac{3-2n}{5}$•（$\frac{3}{5}$）n，得到当n≥2时，bn+1＜bn．所以需要比较第一项的大小所在的位置，计算可以得出b2＞b3＞b1＞b4的大小关系．由数列{cn}大小关系为c2＞c3＞c1＞c4＞c5＞…＞cn-1＞cn．
分别算出c1=t-1，c2=2t-4，c3=3t-9．由列c2＞c3＞c1列不等式并求解得t的取值范围．
（3）因为{d2n-1}的序数列单调减，即d2n+1-d2n-1＞0，将其变形可得到d2n+1-d2n+d2n-d2n-1＞0．利用|d2n+1-d2n|=$（\frac{1}{2}）^{2n}$＜|d2n-d2n-1|=$（\frac{1}{2}）^{2n-1}$可得d2n-d2n-1＞0，即d2n-d2n-1=$（\frac{1}{2}）^{2n-1}$=$\frac{（-1）^{2n}}{{2}^{2n-1}}$①，由d2n+1-d2n＜0，d2n+1-d2n=$-（\frac{1}{2}）^{2n}$=$\frac{（-1）^{2n+1}}{{2}^{n}}$②
整理①②得dn+1-dn=$\frac{（-1）^{n+1}}{{2}^{n}}$．所以可知数列{dn+1-dn}是等比数列，则可求其前n项和为Tn-1=（d2-d1）+（d3-d2）+…+（dn-dn-1）=dn-d1．即可求出数列{dn}的通项公式．
解答 （1）证明：由题意得，
充分条件：
因为有穷数列{an}的序数列{Pn}为等差数列
所以①{Pn}为1，2，3，…，n-2，n-1，n
所以有穷数列{an}为递减数列，
②{Pn}为n，n-1，n-2，…，3，2，1
所以有穷数列{an}为递增数列，
所以由①②，有穷数列{an}为单调数列
必要条件：
因为有穷数列{an}为单调数列
所以①有穷数列{an}为递减数列
则{Pn}为1，2，3，…，n-2，n-1，n的等差数列
②有穷数列{an}为递增数列
则{Pn}为n，n-1，n-2，…，3，2，1的等差数列
所以由①②，序数列{Pn}为等差数列
综上，有穷数列{an}的序数列{Pn}为等差数列的充要条件是有穷数列{an}为单调数列
（2）解：由题意得，
因为bn=n•（$\frac{3}{5}$）n（n∈N*）
所以bn+1-bn=$\frac{3-2n}{5}$•（$\frac{3}{5}$）n
当n≥2时，bn+1-bn＜0即bn+1＜bn
b1=$\frac{3}{5}$，b2=$\frac{18}{25}$，b3=$\frac{81}{125}$，b4=$\frac{324}{625}$
b2＞b3＞b1＞b4＞b5＞…＞bn-1＞bn
又因为cn=-n2+tn（n∈N*），且{bn}的序数列与{cn}的序数列相同
所以c2＞c3＞c1＞c4＞c5＞…＞cn-1＞cn
又因为c1=t-1，c2=2t-4，c3=3t-9
所以2t-4＞3t-9＞t-1
所以4＜t＜5即t∈（4，5）
（3）解：由题意得，d2n+1-d2n-1＞0
所以d2n+1-d2n+d2n-d2n-1＞0
又因为|d2n+1-d2n|=$（\frac{1}{2}）^{2n}$＜|d2n-d2n-1|=$（\frac{1}{2}）^{2n-1}$
所以d2n-d2n-1＞0，即d2n-d2n-1=$（\frac{1}{2}）^{2n-1}$=$\frac{（-1）^{2n}}{{2}^{2n-1}}$①
d2n+1-d2n＜0，d2n+1-d2n=$-（\frac{1}{2}）^{2n}$=$\frac{（-1）^{2n+1}}{{2}^{n}}$②
整理①②得dn+1-dn=$\frac{（-1）^{n+1}}{{2}^{n}}$
令数列Bn=dn+1-dn则数列{Bn}是以$\frac{1}{2}$为首相，$-\frac{1}{2}$为公比的等比数列，所以{Bn}的前n-1项和为Tn-1=$\frac{\frac{1}{2}（1-（-\frac{1}{2}）^{n-1}）}{1-（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{1}{3}-\frac{1}{3}（-\frac{1}{2}）^{n-1}$
所以dn=d1+Tn-1=$\frac{4}{3}+\frac{1}{3}\frac{（-1）^{n}}{{2}^{n-1}}$
点评 本题（1）是以数列为框架对充要条件进行考察，要求学生要有严谨的逻辑思维；（2）利用函数思想考察了数列的单调性，要求学生注意细节；（3）难度较大，利用转化与化归思想，得到数列{dn+1-dn}为等比数列，利用叠加求和方法间接求得数列{dn}的通项公式．
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如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N分别是CD、DD1的中点．
如图，已知点A（-1，0），F（1，0）和抛物线C：y2=4x，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M，P两点，直线MF交抛物线C于另一点Q．
如图，抛物线C1：y2=2px与椭圆C2：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1在第一象限的交点为B，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，△OAB的面积为$\frac{8\sqrt{6}}{3}$．