Question

有四个函数分别是：
①f（x）=2x+1；
②f（x）=e^x；
③f（x）=lnx；
④f（x）=sinx．
对于满足：对定义域内的任意x，都有f（x+2）+f（x）≥2f（x+1）的函数f（x）有（　　）个．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：将所给的不等式化为：“f（x+2）-f（x+1）＜f（x+1）-f（x）”，得到不等式对应的函数含义，
根据基本函数同为增函数时的增长情况，对答案项逐一进行判断即可．

解答：解：由f（x+2）+f（x）≥2f（x+1）得，
f（x+2）-f（x+1）≥f（x+1）-f（x）（Ⅰ），
∵（x+2）-（x+1）=（x+1）-x，
∴（Ⅰ）说明自变量变化相等时，当自变量越大时，对应函数值的变化量越来越大或相等，
①、f（x）=2x+1是一次函数，且在R上直线递增，函数值的变化量是相等的，①正确；
②、f（x）=e^x是增长速度最快-呈爆炸式增长的指数函数，当自变量越大时，对应函数值的变化量越来越大，②正确；
③、f（x）=lnx是增长越来越慢的对数函数，当自变量越大时，对应函数值的变化量越来越小，③错；
④、f（x）=sinx在定义域上不是单调函数，举例：f（0）=0，f（

π

2

）=1，f（π）=0，④错．
故选B．

点评：本题考查了基本函数同为增函数时的增长速度的应用，此题的关键是将不等式进行转化，并能理解不等式所表达的函数意义，考查了分析问题、解决问题的能力．