Question

一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西80km处，受影响的范围是半径长为r（r＞0）km的圆形区域．轮船的航行方向为西偏北45°且不改变航线，假设台风中心不移动． 如图所示，试问：
（1）r在什么范围内，轮船在航行途中不会受到台风的影响？
（2）当r=60km时，轮船在航行途中受到影响的航程是多少km？

Answer 1

分析：首先建立以台风中心为原点建立直角坐标系，
（1）由轮船在直线l：x+y-80=0上移动，则得到原点到l的距离d=40

2

．根据条件来判断是否受台风影响．
（2）根据60＞40

2

，得到会受到台风影响的结论，其航程由弦长一半的平方等于半径的平方减去圆心到直线的距离的平方求解．

解答：解：如图，以台风中心为原点建立直角坐标系．
（1）轮船在直线l：x+y-80=0上移动，
原点到l的距离d=40

2

．（3分）
∴0＜r＜40

2

时，轮船在途中不会受到台风影响．（6分）
（2）60＞40

2

，会受到台风影响．
航程为22

602-(40 2 )2

=40km（10分）

点评：本题主要考查直线与圆的位置关系及其方程的应用，本题是一道应用题，要建立数学模型，转化为已知的问题解决．