Question

19．己知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n+1=$\frac{1}{3}$S_n，n∈N^*，则a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{1}{3}•（\frac{4}{3}）^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由a_n+1=$\frac{1}{3}$S_n，a_n+2=$\frac{1}{3}$S_n+1可得a_n+2=$\frac{4}{3}$a_n+1，再讨论即可．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{1}{3}$S_n，a_n+2=$\frac{1}{3}$S_n+1，
∴a_n+2-a_n+1=$\frac{1}{3}$a_n+1，
∴a_n+2=$\frac{4}{3}$a_n+1，
又∵a₁=1，a₂=$\frac{1}{3}$，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{1}{3}•（\frac{4}{3}）^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$，
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{1}{3}•（\frac{4}{3}）^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了数列的性质的判断与应用及分类讨论的思想应用．