Question

已知函数的图像在点处的切线方程为.
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值；
（Ⅲ）若曲线上存在两点使得是以坐标原点为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在轴上，求实数的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）当时在[-1，2]上的最大值为2，
当时在[-1，2]上的最大值为；（Ⅲ）.

试题分析：（Ⅰ）由题意先对时的函数进行求导，易得，解得；（Ⅱ）因为函数为分段函数，要求在区间上的最大值，需分别求区间和上的最大值，当时，应对函数进行求导，求函数的单调性，从而求区间上的最大值；当时，应对函数分两种情况讨论，可得结论；（Ⅲ）根据条件可知的横坐标互为相反数，不妨设，其中，若，则，由是直角，得，即，方程无解；若，则由于中的中点在轴上，且，所以点不可能在轴上，即同理有，，得的范围是.
试题解析：（I）当时，
因为函数图象在点处的切线方程为，
所以切点坐标为且解得.       4分
（II）由（I）得，当时，令，
可得或在和上单调递减，在上单调递增，所以在上的最大值为，当时，,
当时，恒成立此时在[-1，2]上的最大值为；
当时在[1，2]上单调递增，且，
令则，
所以当时在[-1，2]上的最大值为，
当时在[-1，2]上的最大值为，
综上可知，当时在[-1，2]上的最大值为2，
时当时在[-1，2]上的最大值为.            9分
（III）根据条件可知的横坐标互为相反数，
不妨设，其中，
若，则，由是直角，得，即，
即此方程无解；
若，则由于中的中点在轴上，且，所以点不可能在轴上，
即同理有，，
令由于函数的值域是
所以实数的取值范围是                      14分