已知D(x0.y0)为圆O:x2+y2=12上一点.E(x0.0).动点P满足$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{ED}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$$\overrightarrow{OE}$.设动点P的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程,(2)若动直线l:y=kx+m与曲线C相切.过点A1.A2(2.0)分� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．已知D（x₀，y₀）为圆O：x²+y²=12上一点，E（x₀，0），动点P满足$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{ED}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$$\overrightarrow{OE}$，设动点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）若动直线l：y=kx+m与曲线C相切，过点A₁（-2，0），A₂（2，0）分别作A₁M⊥l于M，A₂N⊥l于N，垂足分别是M，N，问四边形A₁MNA₂的面积是否存在最值？若存在，请求出最值及此时k的值；若不存在，说明理由．

分析（1）由题意设P（x，y），则$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}（0，{y}_{0}）$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x₀，0）=$（\frac{\sqrt{3}}{3}{x}_{0}，\frac{{y}_{0}}{2}）$．可得$x=\frac{\sqrt{3}}{3}{x}_{0}$，y=$\frac{{y}_{0}}{2}$，解得x₀=$\sqrt{3}$x，y₀=2y，又${x}_{0}^{2}$+${y}_{0}^{2}$=12，代入圆的方程即可得出．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，可得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，△=0，可得：m²=3+4k²．A₁（-2，0）到l的距离d₁=$\frac{|-2k+m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，A₂（2，0）到l的距离d₂=$\frac{|2k+m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，可得|MN|²=$|{A}_{1}{A}_{2}{|}^{2}$-$|{d}_{1}-{d}_{2}{|}^{2}$=$\frac{16}{1+{k}^{2}}$.${d}_{1}^{2}+{d}_{2}^{2}$=$\frac{12+16{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$．可得四边形A₁MNA₂的面积S=$\frac{（{d}_{1}+{d}_{2}）|MN|}{2}$，利用二次函数的单调性即可得出．

解答解：（1）由题意设P（x，y），则$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}（0，{y}_{0}）$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x₀，0）=$（\frac{\sqrt{3}}{3}{x}_{0}，\frac{{y}_{0}}{2}）$．
∴$x=\frac{\sqrt{3}}{3}{x}_{0}$，y=$\frac{{y}_{0}}{2}$，解得x₀=$\sqrt{3}$x，y₀=2y，
又${x}_{0}^{2}$+${y}_{0}^{2}$=12，代入可得：3x²+4y²=12，化为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，可得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）=48（3+4k²-m²）=0，
可得：m²=3+4k²．A₁（-2，0）到l的距离d₁=$\frac{|-2k+m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
A₂（2，0）到l的距离d₂=$\frac{|2k+m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
则|MN|²=$|{A}_{1}{A}_{2}{|}^{2}$-$|{d}_{1}-{d}_{2}{|}^{2}$=16-[$\frac{（2k-m）^{2}}{1+{k}^{2}}$+$\frac{（2k+m）^{2}}{1+{k}^{2}}$-$\frac{2|4{k}^{2}-{m}^{2}|}{1+{k}^{2}}$]
=16-$（\frac{2{m}^{2}+8{k}^{2}}{1+{k}^{2}}-\frac{6}{1+{k}^{2}}）$=16-$（\frac{6+16{k}^{2}}{1+{k}^{2}}-\frac{6}{1+{k}^{2}}）$=16-$\frac{16{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{16}{1+{k}^{2}}$．
${d}_{1}^{2}+{d}_{2}^{2}$=$\frac{（2k-m）^{2}}{1+{k}^{2}}$+$\frac{（2k+m）^{2}}{1+{k}^{2}}$+$\frac{2|4{k}^{2}-{m}^{2}|}{1+{k}^{2}}$=$\frac{6+16{k}^{2}}{1+{k}^{2}}+\frac{6}{1+{k}^{2}}$=$\frac{12+16{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$．
∴四边形A₁MNA₂的面积S=$\frac{（{d}_{1}+{d}_{2}）|MN|}{2}$=$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{12+16{k}^{2}}{1+{k}^{2}}•\frac{16}{1+{k}^{2}}}$=4$\sqrt{\frac{3+4{k}^{2}}{（1+{k}^{2}）^{2}}}$=4$\sqrt{4-（\frac{1}{1+{k}^{2}}-2）^{2}}$≤4$\sqrt{3}$．
当k=0时，取等号．