Question

7．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=2a_n+2ⁿ，数列{b_n}满足b_n=$\frac{40\sqrt{2}-2n}{n}$a_n，存在m∈N*，使得对?n∈N*，不等式b_n≤b_m恒成立．则m的值为27．

Answer 1

分析 通过对a_n+1=2a_n+2ⁿ变形，进而构造首项为$\frac{1}{2}$、公差为1的等差数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$}，利用作差法计算可得结论．

解答 解：∵a_n+1=2a_n+2ⁿ，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$+1，
又∵$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1-1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$}是首项为$\frac{1}{2}$、公差为1的等差数列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1}{2}$+n-1=$\frac{2n-1}{2}$，即a_n=（2n-1）2^n-2，
∴b_n=$\frac{40\sqrt{2}-2n}{n}$a_n=$\frac{（2n-1）（20\sqrt{2}-n）}{n}$•2^n-1=[（1+40$\sqrt{2}$）-（2n+$\frac{20\sqrt{2}}{n}$）]•2^n-1，
∴b_n+1-b_n={[2（1+40$\sqrt{2}$）-2（2n+2+$\frac{20\sqrt{2}}{n+1}$）]-[（1+40$\sqrt{2}$）-（2n+$\frac{20\sqrt{2}}{n}$）]}•2^n-1
={40$\sqrt{2}$-[2n+3+$\frac{20\sqrt{2}（n-1）}{n（n+1）}$]}•2^n-1，
又∵b₂₇-b₂₆＞0，b₂₈-b₂₇＜0，
∴m=27，
故答案为：27．

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查运算求解能力，利用作差法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．