Question

（本小题满分12分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面平面ABCD，CF=1.

（1）求证：平面ACFE；

（2）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为，试求的取值范围.

Answer 1

（1）详见解析;（2）

【解析】

试题分析：（1）在或用余弦定理求边长.再根据勾股定理证,即,再根据面面垂直的判定定理可证得面.（2）由（1）可建立分别以直线为的如图所示空间直角坐标系，令，可得各点的坐标,再求各有关向量的坐标.分别求面和面的法向量.两法向量所成角的余弦值的绝对值即为.根据的范围用配方法求的范围.

试题解析：（1）证明：在梯形中，

∵∥,

,∴,∴,

∴,∴,

∴平面平面,平面平面,平面,

∴平面. 5分

（2）

由（1）可建立分别以直线为的如图所示空间直角坐标系，

令，则，,

∴.

设为平面的一个法向量，

由，得,

取，则， 7分

∵ 是平面的一个法向量,

∴ . 9分

∵ , ∴ 当时，有最小值，

当时，有最大值,∴ . 12分

考点：1线面垂直;2二面角;3用空间向量法解决立体几何问题.