Question

2．已知函数f（x）=x²e^x-lnx．（ln2≈0.6931，$\sqrt{e}$≈1.649）
（Ⅰ）当x≥1时，判断函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）证明：当x＞0时，不等式f（x）＞1恒成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，确定导函数的符号，从而求出函数的单调性；（Ⅱ）求出f′（x）递增，得到f′（$\frac{1}{2}$）≈0，得到函数的单调区间，求出f（x）的最小值大于1即可．

解答 （Ⅰ）解：f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=xe^x（x+2）-$\frac{1}{x}$，
x≥1时，xe^x（x+2）≥3e，-1≤-$\frac{1}{x}$＜0，
故f′（x）＞0，f（x）在[1，+∞）递增；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得：
f′（x）=xe^x（x+2）-$\frac{1}{x}$，（x＞0），
∴f″（x）=（x²+4x+2）e^x+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
∴f′（x）在（0，+∞）递增，
而f′（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{e}$×$\frac{5}{2}$-2≈0，
故f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）递减，在（$\frac{1}{2}$，+∞）递增，
而f（x）＞f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$×$\sqrt{e}$-ln$\frac{1}{2}$≈0.41225+0.6931＞1，
故当x＞0时，不等式f（x）＞1恒成立．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．