Question

13．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点（3，0）的直线L与椭圆交于P，Q两点，若OP⊥OQ（O为坐标原点），求直线L的方程．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的离心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4$\sqrt{3}$，建立方程，求出a，b，即可求椭圆的方程；
（2）设出直线方程，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到交点的坐标满足的关系，利用向量垂直的充要条件列出等式，求出直线的斜率，即得到直线的方程．

解答 解：（1）∵椭圆的离心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4$\sqrt{3}$，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{1}{2}•2a•2b$=4$\sqrt{3}$，
∴a=$\sqrt{6}$，b=$\sqrt{2}$，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）设直线l的方程为y=k（x-3），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
由直线与椭圆方程联立可得（1+3k²）x²-18k²x+27k²-6=0．
∴x₁+x₂=$\frac{18{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{27{k}^{2}-6}{1+3{k}^{2}}$
∵y₁=k（x₁-3），y₂=k（x₂-3），
∴y₁y₂=k²（x₁-3）（x₂-3）=$\frac{3{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，
∵OP⊥OQ，∴y₁y₂+x₁x₂=0，
∴$\frac{27{k}^{2}-6}{1+3{k}^{2}}$+$\frac{3{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$=0
得k²=$\frac{1}{5}$，
此时△＞0，∴k=±$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴所求直线的方程为y=±$\frac{\sqrt{5}}{5}$（x-3）．

点评 解决直线与圆锥曲线的位置关系的问题，一般将直线的方程与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理找突破口．