Question

5．如图，在三棱锥P-ABC中，底面ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2，侧面PAB为等边三角形．
（Ⅰ）当PC=$\sqrt{3}$时，求证：AC⊥PB；
（Ⅱ）当平面PAB⊥平面ABC时，求三棱锥A-PBC的高．

Answer 1

分析 （I）计算AC，PA，利用勾股定理的逆定理得出AC⊥PC，结合AC⊥BC得出AC⊥平面PBC，于是AC⊥PB；'
（II）取AB中点O，连结OP，求出S_△ABC，OP，S_△PBC，根据等体积法得出三棱锥A-PBC的高．

解答 证明：（Ⅰ）∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2，∴AC=1，BC=$\sqrt{3}$
∵△PAB是等边三角形，∴PA=AB=2，
∴当$PC=\sqrt{3}$时，AC²+PC²=PA²，∴AC⊥PC．
又AC⊥BC，PC?平面PBC，BC?平面PBC，CB∩PC=C，
∴AC⊥平面PBC，又PB?平面PBC，
∴AC⊥PB．
（Ⅱ）取AB中点O，连接PO，CO，则PO⊥AB，
∵平面PAB⊥平面ABC=AB，PO⊥AB，PO?平面PAB，
∴PO⊥平面ABC，∴PO⊥OC，
∵△ABC是直角三角形，△PAB是等边三角形，AB=2，O是AB的中点，
∴OC=$\frac{1}{2}AB$=1，OP=$\sqrt{3}$，
∴$PC=\sqrt{P{O^2}+O{C^2}}=\sqrt{3+1}=2$，
∴PB=PC=2，作PD⊥BC于D，则D为BC的中点，BD=$\frac{1}{2}BC$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴PD=$\sqrt{P{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$．
∴${S_{△PBC}}=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{{\sqrt{13}}}{2}=\frac{{\sqrt{39}}}{4}$．
又${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∵V_P-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•OP$，
设三棱锥A-PBC的高为h，则V_A-PBC=$\frac{1}{3}{S}_{△PBC}•h$
∴$h=\frac{{\frac{1}{3}×{S_{△ABC}}×OP}}{{\frac{1}{3}×{S_{△PBC}}}}=\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}×\sqrt{3}}}{{\frac{{\sqrt{39}}}{4}}}=\frac{{2\sqrt{39}}}{13}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．