Question

14．已知抛物线C：y²=2px（p＞0），O为坐标原点，F为抛物线的焦点，已知点N（2，m）为抛物线C上一点，且|NF|=4．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l过点F交抛物线于不同的两点A，B，交y轴于点M，且$\overrightarrow{MA}$=a$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{MB}$=b$\overrightarrow{BF}$，（a，b∈R）对任意的直线l，a+b是否为定值？若是，求出a+b的值，否则，说明理由．

Answer 1

分析 （1）求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得2+$\frac{p}{2}$=4，解方程可得抛物线C的方程；
（2）设直线l：y=k（x-2），l与y轴交于M（0，-2k），设直线l交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），与抛物线联立，消元利用韦达定理，结合$\overrightarrow{MA}$=a$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{MB}$=b$\overrightarrow{BF}$，运用向量的坐标表示，可得a，b，由此可得结论．

解答 解：（1）抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为（$\frac{p}{2}$，0），准线为x=-$\frac{p}{2}$，
由抛物线的定义可得|NF|=2+$\frac{p}{2}$=4，
解得p=4，则抛物线的方程为y²=8x；
（2）由已知得直线l的斜率一定存在，
由y²=8x的焦点F为（2，0），
所以设l：y=k（x-2），l与y轴交于M（0，-2k），
设直线l交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线l代入抛物线方程，可得k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，
∴x₁+x₂=4+$\frac{8}{{k}^{2}}$，x₁x₂=4，
∵$\overrightarrow{MA}$=a$\overrightarrow{AF}$，∴（x₁，y₁+2k）=a（2-x₁，-y₁），
∴a=$\frac{{x}_{1}}{2-{x}_{1}}$，
同理b=$\frac{{x}_{2}}{2-{x}_{2}}$，
∴a+b=$\frac{{x}_{1}}{2-{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{2}}{2-{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}}{2-{x}_{1}}$+$\frac{2{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}-2{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}-2}{2-{x}_{1}}$=-1，
∴对任意的直线l，a+b为定值-1．

点评 本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，联立方程，利用韦达定理是关键．