Question

8．将函数y=sin（2x-$\frac{π}{6}$）的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位，再将得到的图象上的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后得到的函数y=g（x）的图象．若方程g（x）-a=0，x∈（$\frac{π}{2}$，3π）有三个根，且这三根可以构成等比数列，则实数a的值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． -$\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． -$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由条件利用诱导公式、y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，数形结合、分类讨论求得a的值．

解答 解：将函数y=sin（2x-$\frac{π}{6}$）的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位，
得到y=sin[2（x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{6}$]]=sin（2x+$\frac{π}{2}$）=cos2x的图象；
再将得到的图象上的点的横坐标伸长到原来的2倍
（纵坐标不变）后得到的函数y=g（x）=cosx的图象．
若方程g（x）-a=0，x∈（$\frac{π}{2}$，3π）有三个根，
即cosx=a在（$\frac{π}{2}$，3π）上有3个实数根，
且这三根可以构成等比数列，
即函数g（x）=cosx的图象和直线y=a在（$\frac{π}{2}$，3π）上
有3个交点，且这3个交点的横坐标成等比数列，
结合图象可得a＜0．
若a=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则x=$\frac{3π}{4}$，x=$\frac{5π}{4}$，x=$\frac{11π}{4}$，不满足这3个交点的横坐标成等比数列．
若a=-$\frac{1}{2}$，则x=$\frac{2π}{3}$，x=$\frac{4π}{3}$，x=$\frac{8π}{3}$，满足这3个交点的横坐标成等比数列，
故选：D．

点评 本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象特征，体现了数形结合、分类讨论的数学思想，属于中档题．