Question

7．数列{a_n}的前n项和S_n=3n²+2n+1．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=a_n2ⁿ，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由S_n=3n²+2n+1知，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=6n-1，验证n=1时是否适合，即可求得{a_n}的通项公式；
（2）b_n=a_n2ⁿ，易求T₁=12，n＞1时，T_n=6×2+11×2²+17×2³+…+（6n-1）×2ⁿ，利用错位相减法可求得{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）∵S_n=3n²+2n+1，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3n²+2n+1-[3（n-1）²+2（n-1）+1]=6n-1，
当n=1时，a₁=6，不适合上式，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{6n-1，n≥2}\\{6，n=1}\end{array}\right.$…..（4分）
（2）∵b_n=a_n2ⁿ，
∴n=1时，T₁=b₁=a₁×2=12…..（5分）
n＞1时，T_n=6×2+11×2²+17×2³+…+（6n-1）×2ⁿ，①
2T_n=6×2²+11×2³+17×2⁴+…+（6n-7）×2ⁿ+（6n-1）2ⁿ⁺¹，②…（9分）
②-①得：T_n=-32-6（2³+2⁴+…+2ⁿ）+（6n-1）2ⁿ⁺¹
=16+（6n-7）×2ⁿ⁺¹．…..（11分）
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{12，n=1}\\{16+（6n-7）•{2}^{n+1}，n＞1}\end{array}\right.$．…（12分）

点评 本题考查数列的求和，着重考查递推关系的应用、等差数列通项公式的求法及错位相减法求和，属于中档题．