Question

14．在如图所示的四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥CD，BC⊥平面PAB，且E，M，N分别为PD，CD，AD的中点，$\overrightarrow{PF}$=3$\overrightarrow{FD}$．
（1）证明：PB∥平面FMN；
（2）若PA=AB，求二面角E-AC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连结BD，分别交AC、MN于点O，G，连结EO、FG，推导出EO∥PB，FG∥EO，PB∥FG，由此能证明PB∥平面FMN．
（2）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出二面角E-AC-B的余弦值．

解答 证明：（1）连结BD，分别交AC、MN于点O，G，连结EO、FG，
∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，
又$\overrightarrow{PF}$=3$\overrightarrow{FD}$，∴F为ED中点，又CM=MD，AN=DN，∴G为OD的中点，
∴FG∥EO，∴PB∥FG，
∵FG?平面FMN，PB?平面FMN，
∴PB∥平面FMN．
解：（2）∵BC⊥平面PAB，∴BC⊥PA，又PA⊥CD，BC∩CD=C，
∴PA⊥平面ABCD，
如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
设PA=AB=2，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），E（0，1，1），
则$\overrightarrow{AC}$=（2，2，0），$\overrightarrow{AE}$=（0，1，1），
平面ABCD的一个向向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设平面AEC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=2x+2y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1），
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由图知二面角E-AC-B为钝角，
∴二面角E-AC-B的余弦值为-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题要认真审题，注意向量法的合理运用．