题目内容

盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数-i，i，-2，2其中i是虚数单位．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．
（1）求事件A“在一次试验中，得到的数为虚数”的概率P（A）与事件B“在四次试验中，至少有两次得到虚数”的概率P（B）；
（2）在两次试验中，记两次得到的数分别为a，b，求随机变量ξ=|a•b|的分布列与数学期望Eξ．

分析：（1）根据卡片上分别标有数-i，i，-2，2其中i是虚数单位，可求P（A），利用对立事件的概率公式，可求P（B）；
（2）确定随机变量ξ=|a•b|的取值，求出相应的概率，可得分布列与数学期望Eξ．

解答：解：（1）∵卡片上分别标有数-i，i，-2，2其中i是虚数单位，
∴P（A）=

2

4

=

1

2

，…（2分）
P（B）=1-P（

.

B

）=1-[

C

0

4

•(

1

2

)0•(

1

2

)4+

C

1

4

•

1

2

•(

1

2

)3]=1-

5

16

=

11

16

…（5分）
（2）a，b，ξ的可能取值如下表所示：

	-i	i	-2	2
-i	1	1	2	2
i	1	1	2	2
-2	2	2	4	4
2	2	2	4	4

…（6分）
由表可知：P（ξ=1）=

4

16

=

1

4

，P（ξ=2）=

8

16

=

1

2

，P（ξ=4）=

4

16

=

1

4

…（9分）
∴随机变量ξ的分布列为

ξ

1

2

4

P

1

4

1

2

1

4

…（10分）
∴Eξ=1×

1

4

+2×

1

2

+4×

1

4

=

9

4

…（12分）

点评：本题考查离散型随机变量的分布列及期望，考查古典概型概率计算公式，考查学生对问题的阅读理解能力，正确求概率是关键．

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（Ⅰ）在一次试验中，求卡片上的数字为正数的概率；
（Ⅱ）在四次试验中，求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率；
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