Question

3．已知曲线C：y²+4ax=0，（a≠0），过点（-a，0）的直线L与曲线C交于A，B两点，则以AB为直径的圆与直线L：x=a的关系相切．

Answer 1

分析 抛物线y²=-4ax的焦点为C（-a，0），抛物线y²=-4ax的准线为L：x=a，过A作AM⊥准线L：x=a，交l于M点，过B作BN⊥准线L：x=a，交l于N点，则由抛物线的性质得AM+BN=AB，由此能求出以AB为直径的圆与直线L：x=a的位置关系．

解答 解：∵曲线C：y²+4ax=0，（a≠0），∴y²=-4ax，（a≠0），
抛物线y²=-4ax的焦点为C（-a，0），抛物线y²=-4ax的准线为L：x=a
过点（-a，0）的直线L与曲线C交于A，B两点，
过A作AM⊥准线L：x=a，交l于M点，
过B作BN⊥准线L：x=a，交l于N点，
则由抛物线的性质得AM+BN=AB，
设AB的中点为O，由梯形中位线定理得O到直线L：x=a的距离为|OP|=$\frac{1}{2}$（AM+BN）=$\frac{1}{2}$AB，
∴以AB为直径的圆与直线L：x=a的关系是相切．
故答案为：相切．

点评 本题考查直线与圆的位置关系的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线的性质的合理运用．