Question

3．设a＞0且a≠1，如果函数y=a^2x+2a^x-1在[-1，1]上的最大值为7，求a的值．

Answer 1

分析 由已知中函数y=a^2x+2a^x-1（a＞0，且a≠1）在区间[-1，1]上的最大值是7，我们利用换元法，及二次函数的性质，我们易构造关于a的方程，解方程即可得到答案．

解答 解：（1）a＞1时，令a^x=t，x∈[-1，1]，则$t∈[\frac{1}{a}，a]$，
f（t）=t²+2t-1=（t+1）²-2在$[\frac{1}{a}，a]$上单调递增，
∴$f（t）_{max}=f（a）={a}^{2}+2a-1=7$即a²+2a-8=0，解得a=-4（舍去）或a=2．
（2）0＜a＜1时，令a^x=t，x∈[-1，1]，则$t∈[a，\frac{1}{a}]$，
f（t）=t²+2t-1=（t+1）²-2在$[a，\frac{1}{a}]$上单调递增，
∴$f（t）_{max}=f（\frac{1}{a}）=\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{2}{a}-1=7$．
解得$a=-\frac{1}{4}$（舍去）或$a=\frac{1}{2}$．
综上：a=2或$a=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，指数函数的值域，二次函数的单调性，其中利用换元法将已知中的函数化为二次函数是解答本题的关键，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．