Question

19．已知正项数列{a_n}满足a₁=2，a₂=1，且$\frac{a_n}{{{a_{n+1}}}}$+$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}$=2，则a₁₂的值为（　　）

• A． $\frac{1}{6}$
• B． 6
• C． $\frac{1}{3}$
• D． 3

Answer 1

分析 由$\frac{a_n}{{{a_{n+1}}}}$+$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}$=2，变形为$\frac{1}{{a}_{n+1}}+\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}}$，利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵$\frac{a_n}{{{a_{n+1}}}}$+$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}$=2，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}+\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}}$，
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差数列，首项为$\frac{1}{2}$，公差为$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{1}{{a}_{12}}$=$\frac{1}{2}+11×\frac{1}{2}$=6．
∴a₁₂=$\frac{1}{6}$．
故选：A．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．