Question

8．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的左、右焦点分别为F₁，F₂，P为C的右支上一点，且|PF₂|=$\frac{8}{15}$|F₁F₂|，则△PF₁F₂的面积等于（　　）

• A． $\frac{80}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 先根据双曲线方程求出焦点坐标，再利用双曲线的性质求得||PF₁|，求出cos∠PF₁F₂=$\frac{（\frac{34}{3}）^{2}+1{0}^{2}-（\frac{16}{3}）^{2}}{2×\frac{34}{3}×10}$=$\frac{15}{17}$，sin∠PF₁F₂=$\frac{8}{17}$，即可求出△PF₁F₂的面积．

解答 解：∵双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1中a=3，b=4，c=5
∴F₁（-5，0），F₂（5，0），
∵|PF₂|=$\frac{8}{15}$|F₁F₂|，
∴|PF₁|=2a+|PF₂|=6+$\frac{16}{3}$=$\frac{34}{3}$，|PF₂|=$\frac{16}{3}$，|F₁F₂|=10，
∴cos∠PF₁F₂=$\frac{（\frac{34}{3}）^{2}+1{0}^{2}-（\frac{16}{3}）^{2}}{2×\frac{34}{3}×10}$=$\frac{15}{17}$，
∴sin∠PF₁F₂=$\frac{8}{17}$，
∴△PF₁F₂的面积为$\frac{1}{2}×\frac{34}{3}×10×\frac{8}{17}$=$\frac{80}{3}$．
故选：A．

点评 此题重点考查双曲线的第一定义，双曲线中与焦点，准线有关三角形问题；属于中档题．