Question

在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．

（Ⅰ）证明AB⊥平面VAD；

（Ⅱ）求面VAD与面VDB所成二面角的大小。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）因为平面VAD⊥平面ABCD，平面VAD∩平面ABCD=AD，

又AB在平面ABCD内，AD⊥AB，所以AB⊥平面VAD．                                    …3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知AD⊥AB，AB⊥AV．

依题意设AB=AD=AV=1，所以BV=BD=．                                             …6分

设VD的中点为E,连结AE、BE，则AE⊥VD，BE⊥VD，

所以∠AEB是面VDA与面VDB所成二面角的平面角．                                     …9分

又AE=，BE=，所以

故，面VAD与面VDB所成二面角的大小为．                            …12分

（方法二）

（Ⅰ）同方法一．                                                                  …3分

（Ⅱ）设AD的中点为O，连结VO，则VO⊥底面ABCD．               

又设正方形边长为1，建立空间直角坐标系如图所示．                                  …4分

则，A（，0，0），    B（，1，0），

D（-，0，0），   V（0，0，）；

．                                  …7分

由（Ⅰ）知是平面VAD的法向量．设是平面VDB的法向量，则

                …10分

∴ 

由图知，面VAD与面VDB所成的二面角为锐角，

故，面VAD与面VDB所成二面角的大小为．                                  …12分

考点：本小题主要考查空间中线面垂直的证明以及二面角的求法，考查学生的空间想象能力及推理论证能力和计算能力.

点评：本小题的难点在于第二问求二面角，用向量法求解二面角时，要正确判断法向量的方向，同指向二面角内或外则向量夹角与二面角互补，一个指向内另一个指向外则相等.