Question

6．定义在R上的函数f（x）满足2f（4-x）=f（x）+x²-2，则曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程是4x+3y-14=0．

Answer 1

分析 先根据2f（4-x）=f（x）+x²-2，求出函数f（x）的解析式，然后对函数f（x）进行求导，进而可得到y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程的斜率，最后根据点斜式可求导切线方程．

解答 解：∵2f（4-x）=f（x）+x²-2，
∴将x换为4-x，可得f（4-x）=2f（x）-（4-x）²+2．
将f（4-x）代入f（x）=2f（4-x）-x²+2，
得f（x）=4f（x）-2（4-x）²+4-x²+2，
∴f（x）=$\frac{1}{3}$（3x²-16x+26），f'（x）=2x-$\frac{16}{3}$，
∴y=f（x）在（2，f（2））处的切线斜率为y′=-$\frac{4}{3}$．
∴函数y=f（x）在（2，2）处的切线方程为y-2=-$\frac{4}{3}$（x-2），
即为4x+3y-14=0．
故答案为：4x+3y-14=0．

点评 本题主要考查求函数解析式的方法和函数的求导法则以及导数的几何意义．函数在某点的导数值等于该点的切线方程的斜率．