Question

17．已知A（x₁，y₁）是单位圆O上任意一点，将射线OA绕点O逆时针旋转$\frac{π}{3}$，与单位圆O交于点B（x₂，y₂），若x=my₁-2y₂（m＞0）的最大值为2，则m的值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 设A（cosα，sinα），则B（cos（α+$\frac{π}{3}$），sin（α+$\frac{π}{3}$）），则my₁-2y₂=msinα-2sin（α+$\frac{π}{3}$），整理后利用辅助角公式化积，再由x=my₁-2y₂（m＞0）的最大值为2列关于m的等式求得m的值．

解答 解：A（x₁，y₁）是单位圆上任一点，设A（cosα，sinα），则B（cos（α+$\frac{π}{3}$），sin（α+$\frac{π}{3}$）），
即y₁=sinα，y₂=sin（α+$\frac{π}{3}$），
则my₁-2y₂=msinα-2sin（α+$\frac{π}{3}$）
=msinα-2（$\frac{1}{2}sinα+\frac{\sqrt{3}}{2}cosα$）
=（m-1）sinα-$\sqrt{3}$cosα
=$\sqrt{（m-1）^{2}+3}$sin（α+β），
∵m＞0，my₁-2y₂的最大值为2，
∴$\sqrt{（m-1）^{2}+3}=2$，解得m=2．
故选：B．

点评 本题考查三角函数的化简求值，注意单位圆、三角函数的性质的合理运用，属于中档题．