Question

6．已知对任意x∈（0，1]，函数f（x）=x|x-a|-2的值恒为负数，则a的范围为-1＜a＜3．

Answer 1

分析 根据函数恒成立进行转化，结合绝对值不等式的性质进行转化求解即可．

解答 解：若对任意x∈（0，1]，函数f（x）=x|x-a|-2的值恒为负数，
则等价为x|x-a|-2＜0，即$|{x-a}|＜\frac{2}{x}$，在x∈（0，1]，上恒成立，
即$-\frac{2}{x}＜x-a＜\frac{2}{x}$，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{a＜x+\frac{2}{x}}\\{a＞x-\frac{2}{x}}\end{array}}\right.$对任意x∈（0，1]恒成立，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{a＜3}\\{a＞-1}\end{array}}\right.$，
∴-1＜a＜3，
故答案为：-1＜a＜3

点评 本题主要考查函数恒成立问题，利用绝对值不等式的解法进行转化是解决本题的关键．