题目内容
9．四面体ABCD的四个顶点都在某个球O的表面上，△BCD是边长为3$\sqrt{3}$的等边三角形，当A在球O表面上运动时，四面体ABCD所能达到的最大体积为$\frac{81\sqrt{3}}{4}$，则四面体OBCD的体积为（ ）| A． | $\frac{81\sqrt{3}}{8}$ | B． | $\frac{27\sqrt{3}}{4}$ | C． | 9$\sqrt{3}$ | D． | $\frac{27\sqrt{3}}{2}$ |
分析 四面体ABCD达到最大体积时，AO⊥平面PCD，设此时的高为h，利用四面体ABCD所能达到的最大体积为$\frac{81\sqrt{3}}{4}$，求出h，再求出球的半径，即可求出四面体OBCD的体积．
解答 解：四面体ABCD达到最大体积时，AO⊥平面PCD，设此时的高为h，
则$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×（3\sqrt{3}）^{2}h$=$\frac{81\sqrt{3}}{4}$，∴h=9，
设球的半径为R，则R2=$（\frac{\sqrt{3}}{3}×3\sqrt{3}）^{2}$+（9-R）2，∴R=5，
∴四面体OBCD的体积为$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×（3\sqrt{3}）^{2}×（9-5）$=9$\sqrt{3}$．
故选C．
点评 本题考查四面体体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确求出四面体的高是关键．
练习册系列答案
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20．为得到函数y=sin2x+cos2x的图象，只需将函数y=sin2x的图象（ ）
| A． | 向左平移$\frac{π}{4}$个长度单位 | |
| B． | 向右平移$\frac{π}{4}$个长度单位 | |
| C． | 向左平移$\frac{π}{8}$个长度单位，纵坐标伸长到原来的$\sqrt{2}$倍 | |
| D． | 向右平移$\frac{π}{8}$个长度单位，纵坐标伸长到原来的$\sqrt{2}$倍 |
14．设向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，则|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$|的最大值为（ ）
| A． | $\sqrt{2}$ | B． | $\sqrt{3}$ | C． | 2 | D． | 3 |
