Question

设函数，其中为正整数.

（1）判断函数的单调性，并就的情形证明你的结论；

（2）证明：；

（3）对于任意给定的正整数，求函数的最大值和最小值.

Answer 1

解答：本题主要考查三角函数的化简、证明以及三角函数的最值等综合问题.

    （1）在上均为单调递增的函数.

    对于函数，设 ，则

    ，

   ∵，

   ∴∴函数在上单调递增

（2）∵原式左边

                     

    

     

    又∵原式右边.

    ∴.

（3）当时，函数在上单调递增，

    ∴的最大值为，最小值为.

    当时，，∴函数的最大、最小值均为1.

    当时，函数在上为单调递增.

    ∴的最大值为，最小值为.

    当时，函数在上单调递减，

    ∴的最大值为，最小值为.

    下面讨论正整数的情形：

    当为奇数时，对任意且

    ∵，

    以及 ，

    ∴，从而 .

    ∴在上为单调递增，则

    的最大值为，最小值为

    当为偶数时，一方面有 .

    另一方面，由于对任意正整数，有

    ，

    ∴.

    ∴函数的最大值为，最小值为. 

    综上所述，当为奇数时，函数的最大值为，最小值为.当为偶数时，函数的最大值为，最小值为