Question

已知直线l：2x-3y-8=0与抛物线C：y²=4x交于A，B两点，O为坐标原点．
（Ⅰ）求△OAB的面积；
（Ⅱ）抛物线C上是否存在两点M，N关于直线AB对称，若存在，求出直线MN的方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出A，B的坐标，计算|AB|，原点到直线AB的距离，可求△OAB的面积；
（Ⅱ）假设存在两点M、N关于AB对称，设出直线方程与抛物线方程联立，求出线段MN中点，代入直线l：2x-3y-8=0可得结论．

解答：解：（Ⅰ）由

2x-3y-8=0 y2=4x

，解得A（16，8），B（1，-2），则|AB|=5

13

，
因为原点到直线AB的距离为d=

8 13

13

，所以S△OAB=

1

2

d•|AB|=20．
（Ⅱ）假设存在两点M、N关于AB对称，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
则kMN=-

1

kAB

=-

3

2

，设MN：y=-

3

2

x+m与y²=4x，消x得3y²+8y-8m=0，△=64+4×3×8m＞0，
∴m＞-

2

3

y1+y2=-

8

3

，则

y1+y2

2

=-

4

3

，

x1+x2

2

=

8+6m

9

，
所以线段MN中点(-

4

3

，

8+6m

9

)在直线l：2x-3y-8=0上解得m=

5

3

满足m＞-

2

3

．
故存在M、N关于直线AB对称，直线MN：9x+6y-10=0．

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．