Question

11．已知△ABC，若存在△A₁B₁C₁，满足$\frac{cosA}{sin{A}_{1}}$=$\frac{cosB}{sin{B}_{1}}$=$\frac{cosC}{sin{C}_{1}}$=1，则称△A₁B₁C₁是△ABC的一个“友好”三角形，若等腰△ABC存在“友好”三角形，则其底角的弧度数为$\frac{3π}{8}$．

Answer 1

分析 由题意可得cosA=sinA₁，cosB=sinB₁，cosC=sinC₁，设B=α=C，则A=π-2α，求得A₁=2α，可得tan2α=-1，再根据2α∈（0，π）可得2α的值，从而求得α的值．

解答 解：由题意可得等腰△ABC的三个内角A、B、C均为锐角，
且cosA=sinA₁，cosB=sinB₁，cosC=sinC₁，
设B=α=C，则A=π-2α．
由于△A₁B₁C₁中，A₁、B₁、C₁不会全是锐角，
否则，有A+A₁=$\frac{π}{2}$，B+B₁=$\frac{π}{2}$，C+C₁=$\frac{π}{2}$，与三角形内角和矛盾．
故A₁、B₁、C₁必有一个钝角，只能是顶角A₁为钝角，C₁和B₁均为锐角．
故有 B₁=$\frac{π}{2}$-α，C₁=$\frac{π}{2}$-α，∴A₁=2α．
再根据cosA=sinA₁，可得cos（π-2α）=sin2α，即 sin2α+cos2α=0，
即tan2α=-1，再根据2α∈（0，π）可得2α=$\frac{3π}{4}$，∴α=$\frac{3π}{8}$，
故答案为：$\frac{3π}{8}$．

点评 本题主要考查新定义，诱导公式的应用，属于中档题．