Question

10．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，过点F₁的直线l交椭圆于A，B两点，|AB|的最小值为3，且△ABF₂的周长为8．
（1）求椭圆的方程；
（2）当直线l不垂直于x轴时，点A关于x轴的对称点为A′，直线A′B交x轴于点M，求△ABM面积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）因为AB是过焦点F₁的弦，当AB⊥x轴时，|AB|最小，且最小值为$\frac{{2{b^2}}}{a}$，列出方程，利用椭圆定义知，△ABF₂的周长为4a，求出a，b，即可得到椭圆方程．
（2）设AB方程为y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A'（x₁，-y₁），联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，推出直线A′B的方程，利用直线A′B恒过定点，表示出三角形的面积，然后求解即可．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）因为AB是过焦点F₁的弦，所以当AB⊥x轴时，|AB|最小，且最小值为$\frac{{2{b^2}}}{a}$，
由题意可知$\frac{{2{b^2}}}{a}=3$，
再由椭圆定义知，△ABF₂的周长为4a，所以4a=8，可得a=2，b=$\sqrt{3}$，
所以椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$                    （4分）
（2）设AB方程为y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A'（x₁，-y₁），
则$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\end{array}}\right.$，化简得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0
所以${x_1}+{x_2}=\frac{{-8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$①，${x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$②
则${k}_{A′B}=\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，∴A'B方程为$y+{y_1}=\frac{{{y_2}+{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}（x-{x_1}）$
化简有$y=\frac{{k（{x_1}+{x_2}）+2k}}{{{x_2}-{x_1}}}x-\frac{{2k{x_1}{x_2}+k（{x_1}+{x_2}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$，将①②代入可得$y=\frac{1}{{{x_2}-{x_1}}}（{\frac{6k}{{3+4{k^2}}}x+\frac{24k}{{3+4{k^2}}}}）=\frac{6k}{{（3+4{k^2}）（{x_2}-{x_1}）}}（{x+4}）$，
所以直线A'B恒过定点（-4，0），所以${S_{△ABM}}=\frac{1}{2}×3×|{y_1}-{y_2}|$
设AB：x=my-1（m≠0），则$\left\{{\begin{array}{l}{x=my-1}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\end{array}}\right.$，
整理得（3m²+4）y²-6my-9=0，
${y_1}+{y_2}=\frac{6m}{{3{m^2}+4}}，{y_1}{y_2}=\frac{-9}{{3{m^2}+4}}$，
$\begin{array}{l}|{y_1}-{y_2}{|^2}={（{\frac{6m}{{3{m^2}+4}}}）^2}+\frac{36}{{3{m^2}+4}}=\frac{{144（{m^2}+1）}}{{9{{（{m^2}+1）}^2}+6（{m^2}+1）+1}}\\=\frac{144}{{9（{m^2}+1）+\frac{1}{{{m^2}+1}}+6}}≤\frac{144}{16}=9\end{array}$
因为m≠0，所以0＜|y₁-y₂|＜3，
所以${S_{△ABM}}∈（{0，\frac{9}{2}}）$（12分）

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及设而不去的思想方法，考查分析问题解决问题的能力．