Question

4．在△ABC中，AB=8cm，BC=7cm，AC=5cm，内心为I，则AI的长度为$2\sqrt{3}$cm．

Answer 1

分析 设内切圆I与AB，AC相切于D，E，在△ABC中由余弦定理求出cos∠BAC，由角的范围和特殊角的三角函数值求出∠BAC，由内心的性质求出∠IAD，设内切圆的半径为r，由等面积法求出r，根据直角三角的正弦函数求出AI的值．

解答 解：设内切圆I与AB，AC相切于D，E
在△ABC中，由余弦定理可得：
cos∠BAC=$\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2•AB•AC}$=$\frac{64+25-49}{2×8×5}$=$\frac{1}{2}$，
∵0＜∠BAC＜180°，∴∠BAC=60°，则∠IAD=30°，
设内切圆的半径为r，
∵△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}（AB+AC+BC）r=\frac{1}{2}AB•ACsin∠BAC$，
∴$（8+7+5）×r=8×5×\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得r=$\sqrt{3}$（cm），
在RT△ADI中，AI=$\frac{DI}{sin∠DAI}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}$=$2\sqrt{3}$（cm），
故答案为：$2\sqrt{3}$．

点评 本题考查正弦、余弦定理的综合应用，三角形内心的性质，以及等面积法的应用，熟练掌握公式和定理是解题的关键，考查化简、计算能力．