Question

15．如图所示，AB是⊙O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AB的垂线，交AC的延长线于点E，交AD的延长线于点F．求证：
（Ⅰ）GB•GA=GE•GF；
（Ⅱ）若AD=GB=OA=1，求GE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接BC，证得∠FDC+∠CEF=180°，可得C、D、F、E四点共圆，运用圆的割线定理，即可得证；
（Ⅱ）证得△AOD为等边三角形，结合条件和（Ⅰ）的结论，即可得到GE的长．

解答 证明：（Ⅰ）连接BC，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AG⊥FG，
∴∠AGE=90°，
又∠EAG=∠BAC，
∴∠ABC=∠AEG，
又∠FDC=∠ABC，
∴∠FDC=∠AEG，
∴∠FDC+∠CEF=180°，
∴C、D、F、E四点共圆，
∴GE•GF=GC•GD，
又A、B、C、D在圆O上，
∴GB•GA=GC•GD，
∴GB•GA=GE•GF．
（Ⅱ）∵AD=OA=1，又OD=OA，
∴∠OAD=60°，
又AG⊥FG，
∴∠F=30°，
由AD=GB=OA=1，可得AG=3，
∴FG=$\sqrt{3}$AG=3$\sqrt{3}$，
由（Ⅰ）可得GE=$\frac{GB•GA}{GF}$=$\frac{1×3}{3\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查四点共圆的判定和圆内接四边形的性质、圆的切割线定理的运用，考查推理和运算能力，属于中档题．