Question

椭圆

x2

3

+y²=1两个焦点为F₁，F₂，P是椭圆上任意一点，则

PF1

•

PF2

的值域是

 

．

Answer 1

分析：求出椭圆

x2

3

+y²=1两个焦点坐标，利用向量的数量积公式求

PF1

•

PF2

，进而可得二次函数，从而可求

PF1

•

PF2

的值域．

解答：解：椭圆

x2

3

+y²=1两个焦点为F₁（

2

，0），F₂（-

2

，0）．
设P（x，y），则

x2

3

+y²=1，∴y²=1-

x2

3

，
∴

PF1

•

PF2

=（

2

-x，-y）•（-

2

-x，-y）=x²-2+y²=x²-2+1-

x2

3

=

2x2

3

-1，
∵0≤x²≤3，
∴-1≤

2x2

3

-1≤1，
∴

PF1

•

PF2

的值域是[-1，1]．
故答案为：[-1，1]．

点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．