Question

设函数f(x)＝x－xlnx，数列{a_n}满足0＜a₁＜1，a_n＋1＝f(a_n)．求证：

(1) 函数f(x)在区间(0，1)是增函数；

(2) a_n＜a_n＋1＜1.

Answer 1

证明：(1) f(x)＝x－xlnx，f′(x)＝－lnx，当x∈(0，1)时，f′(x)＝－lnx＞0，故函数f(x)在区间(0，1)上是增函数．

(2) (用数学归纳法)①当n＝1时，0＜a₁＜1，a₁ln a₁＜0，a₂＝f(a₁)＝a₁－a₁lna₁＞a₁.

由函数f(x)在区间(0，1)是增函数，且f(1)＝1，得f(x)在区间(0，1)是增函数，a₂＝f(a₁)＝a₁－a₁lna₁＜f(1)＝1，即a₁＜a₂＜1成立．

②假设当n＝k(k∈N^*)时，a_k＜a_k＋1＜1成立，

即0＜a₁≤a_k≤a_k＋1＜1，

那么当n＝k＋1时，由f(x)在区间(0，1]上是增函数，得0＜a₁≤a_k≤a_k＋1＜1，

得f(a_k)＜f(a_k＋1)＜f(1)，而a_n＋1＝f(a_n)，则a_k＋1＝f(a_k)，a_k＋2＝f(a_k＋1)，即a_k＋1＜a_k＋2＜1，也就是说当n＝k＋1时，a_n＜a_n＋1＜1也成立．

由①②可得对任意的正整数n，a_n＜a_n＋1＜1恒成立．