Question

9．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=t-3}\end{array}}\right.$（t为参数），在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为$ρ=\frac{2cosθ}{{{{sin}^2}θ}}$．
（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，求弦AB的长．

Answer 1

分析 （1）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可把极坐标方程化为直角坐标方程，消去参数即可得到普通方程；
（2）将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程y²=2x，得t²-8t+7=0，利用根与系数的关系、弦长公式即可得出．

解答 解：（1）由曲线C的极坐标方程是：$ρ=\frac{2cosθ}{{{{sin}^2}θ}}$，得ρ²sin²θ=2ρcosθ．
∴由曲线C的直角坐标方程是：y²=2x．
由直线l的参数方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=t-3}\end{array}}\right.$，得t=3+y代入x=1+t中消去t得：x-y-4=0，
所以直线l的普通方程为：x-y-4=0．
（2）将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程y²=2x，得t²-8t+7=0，
设A，B两点对应的参数分别为t₁，t₂，
则t₁+t₂=8，t₁t₂=7．
则$|{AB}|=\sqrt{2}|{{t_1}-{t_2}}|=\sqrt{2}\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{2}\sqrt{{8^2}-4×7}=6\sqrt{2}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、参数的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．