Question

21.如题(21)图，倾斜角为的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。

题(21)图

(Ⅰ)求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；

(Ⅱ)若为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。

Answer 1

(Ⅰ)解：设抛物线的标准方程为，则，从而

因此焦点的坐标为(2，0).

又准线方程的一般式为。

从而所求准线l的方程为。

答(21)图

(Ⅱ)解法一：如答(21)图作AC⊥l，BD⊥l，垂足为C、D，则由抛物线的定义知

|FA|=|FC|,|FB|=|BD|.

记A、B的横坐标分别为x_A、x_B，则

|FA|＝|AC|＝解得，

类似地有，解得。

记直线m与AB的交点为E，则

     所以。

故。

解法二：设，，直线AB的斜率为，则直线方程为。

将此式代入,得，故。

记直线m与AB的交点为，则

，

，

故直线m的方程为.

令y=0,得P的横坐标故

。

从而为定值。