Question

19．已知等比数列{a_n}的首项a₁、公比q，且${a_3}=\frac{3}{2}，{S_3}=\frac{9}{2}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设${b_n}={log_2}\frac{6}{{{a_{2n+1}}}}$，且{b_n}为递增数列．若${c_n}=\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）根据等比数列的通项公式和前n项和公式求得首项a₁、公比q，然后数列{a_n}的通项公式；注意需要分类讨论；
（2）利用（1）中求得的数列{a_n}的通项公式推知数列{b_n}的通项公式，然后根据拆项法推知数列{c_n}的通项公式，则易求数列{c_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）因为等比数列{a_n}的首项a₁、公比q，且${a_3}=\frac{3}{2}，{S_3}=\frac{9}{2}$，
所以①当q=1时，a_n=$\frac{3}{2}$；
②当q≠1时，$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{q}^{2}=\frac{3}{2}}\\{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=6}\\{q=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
则a_n=6×（-$\frac{1}{2}$）^n-1．
综上所述，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}（q=1）}\\{6×（-\frac{1}{2}）^{n-1}（q≠1）}\end{array}\right.$；
（2）因为${b_n}={log_2}\frac{6}{{{a_{2n+1}}}}$，且{b_n}为递增数列，
所以a_n=6×（-$\frac{1}{2}$）^n-1．
所以a_2n+1=6×（$\frac{1}{4}$）ⁿ．
所以${b_n}={log_2}\frac{6}{{{a_{2n+1}}}}$=2n，则${c_n}=\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）．
所以T_n=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{n}{4（n+1）}$．

点评 本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，利用拆项法和裂项相消法求和法是解决本题的关键．