Question

6．设$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-x+5$，当$x∈[{-\frac{3}{2}，3}]$时，f（x）＜m恒成立，则实数m的取值范围为（11，+∞）．

Answer 1

分析 先求导数，然后根据函数单调性研究函数的极值点，通过比较极值与端点的大小从而确定出最大值，进而求出变量m的范围．

解答 解：f′（x）=x²-1=0
解得：x=1或-1
当x∈[-$\frac{3}{2}$，-1）或（1，3]时，f'（x）＞0，函数单调递增，
当x∈（-1，1）时，f'（x）＜0，函数单调递减，
∴f（x）_max={f（-1），f（3）}_max=11
由f（x）＜m恒成立，
∴m＞f_max（x）=11．
故答案为：（11，+∞）

点评 本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的，属于基础题．