Question

17．一个正四棱锥和一个正方体，它们有半径相同的内切球，记正四棱锥的体积为V₁，正方体的体积为V₂，且V₁=kV₂，则实数k的最小值为$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 设球的半径为1，则正方体棱长为2，根据正四棱锥与内切球的关系，列方程得出正四棱锥的底面边长和高的关系，代入棱锥的体积公式求出V₁的最小值．

解答 解：设球的半径r=1，则正方体的棱长为2r=2，∴V₂=2³=8
作正四棱锥过高SO和底面对边中点的截面SEF，则球的大圆为等腰三角形SEF的内切圆．
设正四棱锥的底面边长为a，高为h，则OE=PE=$\frac{a}{2}$，PM=MO=1，SM=h-1，SE=$\sqrt{{h}^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}}$，
∴SP=$\sqrt{（h-1）^{2}-1}$=$\sqrt{{h}^{2}-2h}$．
∴$\sqrt{{h}^{2}-2h}$+$\frac{a}{2}$=$\sqrt{{h}^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}}$，即h²-2h+$\frac{{a}^{2}}{4}$+a$\sqrt{{h}^{2}-2h}$=h²+$\frac{{a}^{2}}{4}$，
∴a=$\frac{2h}{\sqrt{{h}^{2}-2h}}$．
∴V₁=$\frac{1}{3}$a²h=$\frac{4}{3}$•$\frac{{h}^{2}}{h-2}$=$\frac{4}{3}$•（h-2+$\frac{4}{h-2}$+4）≥$\frac{4}{3}×（2\sqrt{4}+4）$=$\frac{32}{3}$．
∴k=$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$=$\frac{{V}_{1}}{8}$≥$\frac{4}{3}$．
故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了棱柱，棱锥与内切球的位置关系，棱锥的体积计算，属于中档题．