Question

5．已知函数f（x）=xlnx-x+1，
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数的最值；
（3）若xf′（x）≤x²+ax，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）首先对f（x）求导，利用导数判断单调区间；
（2）已知单调区间，即可求出函数最值；
（3）xlnx≤x²+ax  等价转化为：h（x）=lnx-x≤a，即求h（x）的最大值；

解答 解：（1）由题意知，函数f（x）的定义域为：x＞0；
∵f'（x）=lnx，令f'（x）=0，则x=1．
∴f（x）在（0，1）单调递减，（1，+∞）上单调递增；
（2）∵f（x）在（0，1）单调递减，（1，+∞）上单调递增，
∴f（x）在x=1处取得最小值f（1）=0，无最大值；
（3）∵xf′（x）≤x²+ax，x＞0，
即：xlnx≤x²+ax
化简后：lnx-x≤a，
令h（x）=lnx-x，
对h（x）求导：h'（x）=$\frac{1}{x}$-1．令h'（x）=0，即得x=1；
所以，当x∈（0，1）时，h'（x）＞0，h（x）在（0，1）上单调递增；
当x∈（1，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）在（1，+∞）上单调递减；
h（x）在x=1处取得最大值h（1）=-1；
∴a≥-1．

点评 本题主要考查了函数的导数，函数单调性与最值，转化法求参数范围等知识点，属中等题．