Question

14．如图所示的分数三角形，称为“莱布尼茨三角形”．这个三角形的规律是：各行中的每一个数，都等于后面一行中与它相邻的两个数之和（例如第4行第2个数$\frac{1}{12}$等于第5行中的第2个数$\frac{1}{20}$与第3个数$\frac{1}{30}$之和）．则
在“莱布尼茨三角形”中，第10行从左到右第2个数到第8个数中各数的倒数之和为（　　）

• A． 5010
• B． 5020
• C． 10120
• D． 10130

Answer 1

分析 将杨晖三角形中的每一个数C_n^r都换成分数$\frac{1}{（n+1）{C}_{n}^{r}}$，就得到莱布尼茨三角形．杨晖三角形中第n（n≥2）行第m个数字是C_n-1 ^m-1，即可求出第10行从左到右第2个数到第8个数中各数的倒数之和．

解答 解：将杨晖三角形中的每一个数C_n^r都换成分数$\frac{1}{（n+1）{C}_{n}^{r}}$，就得到莱布尼茨三角形．
∵杨晖三角形中第n（n≥2）行第m个数字是C_n-1 ^m-1，
∴第10行从左到右第2个数到第8个数中各数的倒数之和为10（C₉¹+C₉²+…+C₉⁷）=5020
故选：B．

点评 本题考查归纳推理，解题的关键是通过观察分析归纳将杨晖三角形中的每一个数C_n^r都换成分数$\frac{1}{（n+1）{C}_{n}^{r}}$，就得到莱布尼茨三角形，考查学生的观察分析和归纳能力，属中档题．