Question

16．已知函数f（x）=$\frac{x}{ax+b}$，a，b∈R，a≠0，b≠0，f（1）=$\frac{1}{2}$，且方程f（x）=x有且仅有一个实数解；
（1）求a、b的值；
（2）当x∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]时，不等式（x+1）•f（x）＞m（m-x）-1恒成立，求实数m的范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意，直接带入f（1），同时考虑f（x）=x有且仅有一个实数解，故可求出a．b值；
（2）当x∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]时，不等式（x+1）•f（x）＞m（m-x）-1恒成立，即可转化为：（x+1）f（x）＞m（m-x）-1恒成立?（1+m）x＞m²-1；

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{x}{ax+b}$，且f（1）=$\frac{1}{2}$；
∴$\frac{1}{a+b}=\frac{1}{2}$，即a+b=2；
又$\frac{x}{ax+b}=x$ 只有一个实数解；
∴x$（\frac{1-ax-b}{ax+b}）=0$ 有且仅有一个实数解为0；
∴b=1，a=1；
∴f（x）=$\frac{x}{x+1}$．
（2）∵x∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]；
∴x+1＞0；
∴（x+1）f（x）＞m（m-x）-1恒成立?（1+m）x＞m²-1；
当m+1＞0时，即m＞-1时，有m-1＜x恒成立?m＜x+1?m＜（x+1）_min
∴-1＜m≤$\frac{5}{4}$；
当m+1＜0，即m＜-1时，同理可得m＞（x+1）_max=$\frac{3}{2}$；
∴此时m不存在．
综上：m∈（-1，$\frac{5}{4}$]．

点评 本题主要考查了函数解析式的求法，以及函数恒成立与分类讨论知识点，属中等题．