Question

15．某皮革公司旗下有许多手工足球作坊为其生产足球，公司打算生产两种不同类型的足球，一款叫“飞火流星”，另一款叫“团队之星”．每生产一个“飞火流星”足球，需要橡胶100g，皮革300g；每生产一个“团队之星”足球，需要橡胶50g，皮革400g．且一个“飞火流星”足球的利润为40元，一个“团队之星”足球的利润为30元．现旗下某作坊有橡胶材料2.5kg，皮革12kg．
（1）求该作坊可获得的最大利润；
（2）若公司规定各作坊有两种方案可供选择，方案一：作坊自行出售足球，则所获利润需上缴10%方案二：作坊选择由公司代售，则公司不分足球类型，一律按相同的价格回收，作坊每个球获得30元的利润．若作坊所生产的足球可全部售出，请问该作坊选择哪种方案更划算？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设该作坊生产“飞火流星”足球x个，“团队之星”足球y个，作坊获得的利润为z元．则$\left\{{\begin{array}{l}{100x+50y≤2500}\\{300x+400y≤12000}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\begin{array}{l}{\;}\\ left\{\;}\end{array}}\right.$即$\left\{{\begin{array}{l}{2x+y≤50}\\{3x+4y≤120}\\{x≥0，y≥0}\end{array}}\right.$，目标函数z=40x+30y，（x，y∈N）．由图可求该作坊可获得的最大利润．
（2）分别求出两种方案的利润即可．

解答 【解析】（1）设该作坊生产“飞火流星”足球x个，
“团队之星”足球y个，作坊获得的利润为z元．


则$\left\{\begin{array}{l}{100x+50y≤2500}\\{300x+400y≤1200}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2x+y≤50}\\{3x+4y≤120}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，
目标函数z=40x+30y，（x，y∈N）．…（3分）
由图可知，当直线l经过点（16，18）时，
z取得最大值1180，即该作坊可获得的最大利润为1180元．…（6分）
（2）若作坊选择方案一，则其收益为1180×（1-10%）=1062元；…（8分）
若作坊选择方案二，则作坊生产的足球越多越好，设其生产的足球个数为t，
则t=x+y，（x，y∈N），由（1）知$\left\{\begin{array}{l}{2x+y≤50}\\{3x+4y≤120}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，
作图分析可知，当x=16，y=18时，t取得最大值，此时作坊的收益为（16+18）×30=1020元，
故选择方案一更划算．…（12分）

点评 本题考查了一次函数、不等式组，及线性规划问题，属于中档题．